Задание №19 ЕГЭ (профильный уровень)

2. На доске в одну строку слева направо написаны несколько не обязательно различных натуральных чисел. Известно, что каждое следующее число, (кроме первого) или на 1 больше предыдущего, или в 2 раза меньше предыдущего.

а) Может ли оказаться так, что первое число 12, а седьмое равно 2?

б) Может ли оказаться так, что первое число равно 1200, а двадцать пятое равно 63?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если первое число 1200, а последнее число равно 5?

3. В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное число баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

А) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшится в 10 раз?

Б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?

В) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

4. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых заканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

А) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
Б) Может ли ровно одно число оканчиваться на 6?
В) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

5.

6. Сначала Маша написала на доске 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Затем вместо некоторых из чисел (возможно, одного) она написала на доске числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, она с доски стёрла.

7.Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -3, - 4, 5, 6, -7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -3, -4, 5, 6, -7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

8.Сумма цифр трёхзначного числа A равна S.

а) Может ли произведение A S быть равно 1060?

б) Может ли произведение A S быть равно 1061?

в) Найдите наименьшее значение произведения A S, если известно, что оно больше 2584.