Задание 16 ЕГЭ профильный уровень

1.

В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А

 и катетами АВ = 3; АС = 5 вписан квадрат ADEF.
а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF.

репетитор по математике москва

2.

Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой стороны и продолжения основания АС.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треугольника АВС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиус окружности равен 8, а АС·АВ = 120.

репетитор по математике москва

3.

Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы окружностей равны 8 и 2.

репетитор по математике москва

4.

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD= r.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN, если известно, что r= 1 и CD =3.

репетитор по математике москва

5.

Дан треугольник АВС. Серединный перпендикуляр к стороне АВ пересекается с биссектрисой угла ВАС в точке К, лежащей на стороне ВС.

а) Докажите, что АС2 =ВС·СК.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АКС, если sinВ = 0,8 и сторона АС= 30.

репетитор по математике москва

6.

Прямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2.

а) Докажите, что ∠BAC=30

б) Пусть прямые MK и BC пересекается в точке P, а прямые AP и BK - в точке Q. Найдите KQ, если BC=3√2

репетитор по математике москва

7.

Через вершины В и С треугольника АВС проходит окружность, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках C1 и B1.

а) Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику AB1C1.

б) Вычислите радиус данной окружности, если угол A=150°, BC=6 и площадь треугольника AB1C1 в 3 раза меньше площади четырехугольника BCB1C1.

репетитор по математике москва
репетитор по математике москва

8.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC (с основанием AC), касается его боковых сторон в точках M и N. Точка M делит боковую сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания треугольника ABC.

а) Докажите, что треугольники MBN и ABC подобны.

б) Найдите отношение площадей треугольника MBN и трапеции AMNC.

репетитор по математике москва

9.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложен отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно BD, пересекает сторону ВС в точке М.

а) Докажите, что AM — биссектриса угла ВАС.

б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника АВС равна 200 и известно отношение

АС : АВ = 2:3.

репетитор по математике москва

10.

 Окружность проходит через вершины В  и С  треугольника АВС  и пересекает АВ  и АС  в точках С1  и В1  соответственно.

 а)  Докажите,  что треугольник АВC  подобен треугольнику АВ1С1.

 б)  Вычислите длину стороны ВС  и радиус данной окружности,  если ‹А=45 ,В1С1=6  и площадь треугольника АВ1С1  в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСB1C1.

репетитор по математике москва

11.

В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.

а) Докажите, что луч DB – биссектриса угла ADC.

б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD=16 и AC=10.

репетитор по математике москва

12.

 Точки P, Q, W  делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD  в отношении AP: PB = CQ:QB = CW :WD =1: 4 ,  радиус окружности,  описанной около треугольника PQW,  равен 10, PQ =16, QW =12 ,  угол PWQ  острый.

 а)  Докажите,  что треугольник PQW  прямоугольный.

 б)  Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

репетитор по математике москва

13.

 Дана трапеция ABCD  с основаниями AD  и BC.  Диагональ BD  разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD  и CD.

 а)  Докажите,  что луч AC —  биссектриса угла BAD .

 б)  Найдите CD,  если известны диагонали трапеции: AC =12  и BD = 6,5.

репетитор по математике москва

14.

 Окружность проходит через вершины В  и С  треугольника АВС  и пересекает АВ  и АС  в точках С1  и В1  соответственно.

 а)  Докажите,  что треугольник АВC  подобен треугольнику АВ1С1.

 б)  Вычислите длину стороны ВС  и радиус данной окружности,  если ‹А=30° , В1С1=5  и площадь треугольника АВ1С1  в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.

репетитор по математике москва
репетитор по математике москва

15.

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 85°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

репетитор по математике москва

16.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.

a) Докажите, что высота BF трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых в два раза больше другого

b) Найдите расстояние от вершины B до середины диагонали AC, если AD=72, AС=50

репетитор по математике москва

17.

Дан треугольник ABC. Срединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC. 

а)Докажите, что 𝐴𝐶2=𝐵𝐶∙𝐶𝐾. 

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sinB=0.6 и сторона AC=24. 

репетитор по математике

На все интересующие Вас вопросы я с удовольствием отвечу через форму контактной связи внизу странички или по телефону!

Жду Вас на занятия!

Ваш репетитор по математике!