1.

​

В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.

2.

​

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.

б) Найдите его длину.

3.

​

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AD и CA1.

4.

​

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1.

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.

б) Найдите косинус этого угла.

5.

​

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

6.

​

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2√13, а диагональ боковой грани равна 13.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостью С1АВ и плоскостью основания призмы.

б) Найдите величину этого угла.

7.

​

Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.

Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.

8.

​

В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при–чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16π. Найдите площадь поверхности шара.

9.

​

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой BM и плоскостью AEC.

б) Найдите величину этого угла.

10.

​

В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.

б) Найдите его длину.

11.

​

В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.

12.

​

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на  ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

13.

​

SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.

14.

​

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF =  BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

15.

​

 Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

16.

​

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

17.

​

 В основании правильной треугольной пирамиды ABCD  лежит треугольник ABC  со стороной,  равной 6.  Боковое ребро пирамиды равно 5.  На ребре AD отмечена точка T  так,  что AT :TD = 2 :1.  Через точку Т  параллельно прямым AC  и BD  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

 б)  Найдите площадь сечения.

18.

​

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3  и радиусом основания 8  проведена хорда AB,  равная радиусу основания,  а в другом его основании проведён диаметр CD,  перпендикулярный AB.  Построено сечение ABNM ,  проходящее через прямую AB  перпендикулярно прямой CD  так,  что точка C  и центр основания цилиндра,  в котором проведён диаметр CD,  лежат с одной стороны от сечения.

 а)  Докажите,  что диагонали этого сечения равны между собой.

 б)  Найдите объём пирамиды CABNM .

19.

​

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

20.

​

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная. 

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.

21.

​

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.

22.

​

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.

a) Докажите, что угол AHC=90∘.

б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5 

23.

​

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа. 

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником 

б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа 

24.

​

В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания 𝐴𝐵=7√3, а боковое ребро 𝐴𝐴1=8. 

а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро 𝐴𝐴1 и середину ребра 𝐵1𝐶1 

б) Найдите тангенс угла между плоскостями 𝐵𝐶𝐴1 и 𝐵𝐵1𝐶1 

25.

​

 Дан куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1: 

а) Докажите, что прямая 𝐵1𝐷 перпендикулярна плоскости 𝐴1𝐵𝐶1 

б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵1𝐶1 и 𝐴1𝐵1𝐶 

(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости 

(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях 

26.

​

Ребро SA пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости основания ABC. 

a) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам. 

b) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если 𝑆𝐴=√5, AB=AC=5, 𝐵𝐶=2√5. 

27.

​

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно

 

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

 

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду

28.

​

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8