Задание 14 ЕГЭ профильный уровень
11.
В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.
а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.
б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.
12.
На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.
14.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.
15.
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
16.
Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .
17.
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD = 2 :1. Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
18.
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM , проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM .
19.
На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
21.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.
23.
Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником
б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа
25.
Дан куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1:
а) Докажите, что прямая 𝐵1𝐷 перпендикулярна плоскости 𝐴1𝐵𝐶1
б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵1𝐶1 и 𝐴1𝐵1𝐶
(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости
(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях
27.
На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду
28.
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8
На все интересующие Вас вопросы я с удовольствием отвечу через форму контактной связи внизу странички или по телефону!
Жду Вас на занятия!
Ваш репетитор по математике!