Задание 14 ЕГЭ профильный уровень

1.

В кубе ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 5.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями ABD и CAD1.

б) Найдите тангенс этого угла.

егэ по математике 2019 профиль

2.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1

а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1.

б) Найдите его длину.

егэ по математике 2019 профиль

3.

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми AD и CA1.

егэ по математике 2019 профиль

4.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1.

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.

б) Найдите косинус этого угла.

егэ по математике 2019 профиль

5.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.

егэ по математике 2019 профиль

6.

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2√13, а диагональ боковой грани равна 13.

а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостью С1АВ и плоскостью основания призмы.

б) Найдите величину этого угла.

егэ по математике 2019 профиль

7.

Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 4.

Основание призмы — треугольник АВС, в котором АВ = ВС, АС = 6, tgА = 0,5. Найдите тангенс угла между прямой А1В и плоскостью АСС1.

егэ по математике 2019 профиль

8.

В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, при–чем одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоскостями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16π. Найдите площадь поверхности шара.

егэ по математике 2019 профиль

9.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF со стороной основания 2 и боковым ребром 3 точка M делит ребро SD в отношении 1:2 (считая от вершины S).

а) Постройте угол между прямой BM и плоскостью AEC.

б) Найдите величину этого угла.

егэ по математике 2019 профиль

10.

В правильной шестиугольной призме AB...E1F1 со стороной основания 4 и боковым ребром 2

а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1.

б) Найдите его длину.

егэ по математике 2019 профиль

11.

В основании прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точка К — середина ребра А1В1, а точка М делит ребро АС в отношении AM : МС = 1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно АС.

б) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВВ1, если АВ = 10, АС = 12 и АА1 = 7.

егэ по математике 2019 профиль

12.

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA = 3 : 1, на ребре BB1 — точка F так, что B1F : FB = 1 : 3, а точка T на  ребре B1C1 так, что B1:TC1=1:2. Известно, что AB = 4, AD = 3, AA1 = 4.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью BB1C1.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

13.

SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки В опущен перпендикуляр ВН на плоскость SAD.

а) Докажите, что угол AHC = 90°.

б) Найдите объём пирамиды, если НА = 3 и НС = 5.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

14.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 7 и диагональю BD = 10. Все боковые рёбра пирамиды равны 7. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF =  BE = 3.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

15.

 Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

16.

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1,  у которой сторона основания равна 2,  а боковое ребро равно 3.  Через точки A, С1  и середину T ребра А1В1  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

 б)  Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC .

егэ по математике 2019 профиль

17.

 В основании правильной треугольной пирамиды ABCD  лежит треугольник ABC  со стороной,  равной 6.  Боковое ребро пирамиды равно 5.  На ребре AD отмечена точка T  так,  что AT :TD = 2 :1.  Через точку Т  параллельно прямым AC  и BD  проведена плоскость.

 а)  Докажите,  что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

 б)  Найдите площадь сечения.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

18.

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3  и радиусом основания 8  проведена хорда AB,  равная радиусу основания,  а в другом его основании проведён диаметр CD,  перпендикулярный AB.  Построено сечение ABNM ,  проходящее через прямую AB  перпендикулярно прямой CD  так,  что точка C  и центр основания цилиндра,  в котором проведён диаметр CD,  лежат с одной стороны от сечения.

 а)  Докажите,  что диагонали этого сечения равны между собой.

 б)  Найдите объём пирамиды CABNM .

егэ по математике 2019 профиль

19.

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА = 5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

20.

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная. 

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 6:1. Найдите площадь сечения MNB.

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

21.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13.Точки M и N - середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.

егэ по математике 2019 профиль

22.

SABCD - правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCD. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.

a) Докажите, что угол AHC=90∘.

б) Найдите объём пирамиды, если HA=1 и HC=5 

егэ по математике 2019 профиль
егэ по математике 2019 профиль

23.

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена плоскость альфа. 

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью альфа является равносторонним треугольником 

б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости альфа 

репетитор по математике
репетитор по математике

24.

В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1 сторона основания 𝐴𝐵=7√3, а боковое ребро 𝐴𝐴1=8. 

а) Докажите, что плоскость 𝐵𝐶𝐴1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро 𝐴𝐴1 и середину ребра 𝐵1𝐶1 

б) Найдите тангенс угла между плоскостями 𝐵𝐶𝐴1 и 𝐵𝐵1𝐶1 

репетитор по математике

25.

 Дан куб 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1: 

а) Докажите, что прямая 𝐵1𝐷 перпендикулярна плоскости 𝐴1𝐵𝐶1 

б) Найдите угол между плоскостями 𝐴𝐵1𝐶1 и 𝐴1𝐵1𝐶 

(!)Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости 

(!)Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях 

репетитор по математике

26.

Ребро SA пирамиды SABCD перпендикулярно плоскости основания ABC. 

a) Докажите, что высота пирамиды, проведенная из точки A, делится плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AC и SA, пополам. 

b) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если 𝑆𝐴=√5, AB=AC=5, 𝐵𝐶=2√5. 

ЕГЭ по математике профильный уровень
ЕГЭ по математике профильный уровень

27.

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ=CN:NB=1:2. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно

 

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости

 

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду

егэ профиль.png
егэ профиль

28.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1 – образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол ABC1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8 

егэ профиль 14

На все интересующие Вас вопросы я с удовольствием отвечу через форму контактной связи внизу странички или по телефону!

Жду Вас на занятия!

Ваш репетитор по математике!